《微积分：一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件

一阶可导点是极值点的必要条件

设 f(x) 在 x=x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，则必有

判断极值的第一充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处连续，且在 x0 的某去心邻域 内可导

x0 极小值点x0 极大值点

判断极值的第二充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导，且

x0 极大值点

x0 极小值点

判断极值的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导，且

当 n 为偶数时

x0 极大值点x0 极小值点证明：

由于n为偶数，令 n=2k，构造极限

上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

由函数极限的局部保号性可得：

x0 极大值点

x0 极小值点

证毕